Integrais: Volume 3: Funções Analíticas
Gilson Henrique Junior
No primeiro volume, abordamos as Técnicas de Integração, no segundo, as Funções Integrais e seus desdobramentos, senti a necessidade de incluir nesse estudo sobre integrais, algumas técnicas do Cálculo com Variáveis Complexas na resolução de integrais, no começo, acreditei que bastariam algumas poucas páginas, mas a medida em que fui incluindo exemplos de resolução, percebi que se trataria de mais um volume. Mantendo a ideia original, não podia simplesmente "entrar" direto nas aplicações das variáveis complexas, sem ao menos, uma introdução. Dessa forma, algum leitor, suficientemente interessado e sem conhecimento prévio do assunto, poderia aproveitar esta técnica para a resolução de integrais. Comecei, por tanto, das definições de funções analíticas, equações de Cauchy-Riemann, funções Exponenciais, Logaritmas, introduzindo a ideia dos ramos de corte, a Função Potência e as funções Trigonométricas. Tudo isso, para poder, finalmente, introduzir a Integral de Cauchy, com tudo o que ela traz, finalizando com o Teorema de Laurent e o Teorema dos Resíduos, o que nos permitiu resolver vários exemplos. Passamos em seguida para a resolução de Integrais Reais utilizando a teoria dos Resíduos, Integrais Impróprias e a apresentação do conceito de Valor Principal de Cauchy, e a resolução de diversas integrais utilizando uma diversidade de Caminhos, incluindo as esferas de Riemann e o cálculo de resíduos no infinito. Nos valemos ainda das funções complexas para abordar o Teorema da Função Inversa de Lagrange, as Integrais de Bernoulli, terminando com o cálculo da soma de algumas séries infinitas utilizando o Teorema dos Resíduos. Vale comentar que no apêndice, me permiti incluir alguns complementos sobre os números complexos, incluindo uma parte sobre a sua interpretação geométrica, e diversos exercícios clássicos, que apesar de sua suposta simplicidade, podendo ser introduzida no ensino médio, não deixa de ser bela e interessante